高斯算術(shù)的妙用

在數(shù)學(xué)世界的王國里，曾出現(xiàn)過無數(shù)的天才，其中有一位就是人稱“數(shù)學(xué)王子”的高斯。相信大家都知道，高斯在小時(shí)候就巧妙地解出了老師出的一道難題：1+2+3+4+5+……+100=？你一定也知道這是什么題型吧，不錯(cuò)，這就是后來被稱為“高斯算術(shù)”的等差數(shù)列求和。

這一天，爸爸給我講了高斯的這個(gè)故事，并考我：“1到10的整數(shù)之和是多少？”我聽了題，心想：太簡單了，我用配對法不就可以了嗎？想完，我就立刻算了起來：1+10=11；2+9=11；3+8=11；4+7=11；5+6=11；一共5組，11×5=55。

“對了”，爸爸點(diǎn)了點(diǎn)頭，加大了難度，繼續(xù)考我：“剛才沒考倒你，那你知道1到30中的偶數(shù)加起來是多少？”這個(gè)……我馬上想用剛才的計(jì)算方法，2+30＝32，可是一共幾組呀？配好了對，一組組去數(shù)也太繁瑣了吧？此時(shí)的我，真是一籌莫展，只好向爸爸請教。

爸爸卻賣起了關(guān)子，“我們先來想一下高斯的辦法吧，那些數(shù)經(jīng)過高斯一一配對，每一對數(shù)的和其實(shí)就是平均數(shù)的兩倍，我們把這個(gè)和除以2，那是不是表示，有多少個(gè)數(shù)就相當(dāng)于有多少個(gè)平均數(shù)？”

爸爸看我點(diǎn)點(diǎn)頭，繼續(xù)說道：“這樣就形成了一個(gè)公式，和＝（首項(xiàng)+未項(xiàng)）÷2×項(xiàng)數(shù)。”

“那這個(gè)項(xiàng)數(shù)怎么知道呀？”我想起剛才我卡住的地方，急忙問道。

“這個(gè)項(xiàng)數(shù)呀，表示有多少個(gè)數(shù)，這和他們的公差有關(guān)，高斯那道題，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，他們的公差是1，所以沒體現(xiàn)出來，但我們現(xiàn)在求的是偶數(shù)之和，他們的公差是2，項(xiàng)數(shù)的重要性就體現(xiàn)出來了。”

爸爸看我著急的樣子，就在紙上寫下一個(gè)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1，并解釋說：“這個(gè)公式中‘末項(xiàng)—首項(xiàng)’求出的是總差，再除以公差，再加上1就得到了項(xiàng)數(shù)。”

“為什么要加1呀？”

“這就像我們種樹，每一個(gè)樹坑就是一個(gè)項(xiàng)，間距就是公差，我們從第一個(gè)坑到最后一個(gè)坑的距離是總長度，總長度除以間距得出的是什么呢？對了，是一共有幾個(gè)間距，我們關(guān)注的是有幾個(gè)坑，種樹的“坑”的是不是要比“間距”多“1”呀?”

聽了爸爸的解答，我馬上列出一個(gè)算式來：（30－2）÷2+1=15，（2+30）÷2×15=240。是呀，“首項(xiàng)+末項(xiàng)”是平均數(shù)的兩倍，因此要除以2，然后乘以“項(xiàng)數(shù)”就可以得出答案了。

我高興地在紙上寫下了這個(gè)公式：和＝（首項(xiàng)+未項(xiàng)）÷2×項(xiàng)數(shù)。咦，這個(gè)公式怎么這么眼熟呢？我開始在腦海中搜尋，哦，梯形的面積公式和它很相似呀——梯形的“上底+下底”不就相當(dāng)于“首項(xiàng)+末項(xiàng)”嗎？如果把高看成公式中的項(xiàng)數(shù)，那么“×高÷2”不就是“×項(xiàng)數(shù)÷2”嗎？

其實(shí)，這不是想起數(shù)學(xué)上的“堆木頭”問題嗎？要計(jì)算木頭的總數(shù)，以前總是一層層相加，計(jì)算得很累，還容易出錯(cuò)，要求它們的面積是相當(dāng)于求等差數(shù)列的和，公式就可以通用，那么不就可以應(yīng)用起來了嗎？右圖的鋼管總數(shù)=（第一層+第四層）÷2×層數(shù)=(2+5)÷2×4=14根，我一數(shù)，正確！

我的思考又向前邁了一步：與梯形比較相似的是三角形，如果，我們把三角形看成上底是“0”的一個(gè)梯形，那三角形面積的公式不就成了（0+底）÷2×項(xiàng)數(shù)（高），我茅塞頓開：原來它們都是一個(gè)祖宗生出來的!

看來，在數(shù)學(xué)世界中，隱藏著無數(shù)的奧秘和寶藏，只要我們用心探索，一定會(huì)有意想不到的收獲！